数据结构与算法：图形结构

图形结构是一种比树形结构更复杂的非线性结构。在树形结构中，结点间具有分支层次关系，每一层上的结点只能和上一层中的至多一个结点相关，但可能和下一层的多个结点相关。而在图形结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之间的邻接关系可以是任意的。

图

图形结构是一种比树形结构更复杂的非线性结构。在树形结构中，结点间具有分支层次关系，每一层上的结点只能和上一层中的至多一个结点相关，但可能和下一层的多个结点相关。而在图形结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之间的邻接关系可以是任意的。

因此，图形结构被用于描述各种复杂的数据对象，在自然科学、社会科学和人文科学等许多领域有着非常广泛的应用 。图形结构在计算机科学、人工智能、电子线路分析、最短路径寻找、工程计划、化学化合物分析统计力学、遗传学、控制论语言学和社会科学等方面均有不同程度的应用可以这样说，图形结构在所有数据结构中应用最为广泛。如在地铁站中的线路图：

图的定义

图是一种数据结构，其中节点可以具有零个或多个相邻元素，两个节点的连接称之为边，节点在图形结构中也被称为顶点，一个顶点到另一个顶点的经过的的线路称为路径。

• 图形结构有3种类型：无向图、有向图、带权图
• 无向图：顶点A与顶点B之间的边是无方向的，可以从A到B，也可以从B到A
• 有向图：顶点A与顶点B之间的边是有方向的，可以从A到B，但不可以从B到A
• 带权图：顶点A与顶点B之间的边是带有属性的，如A到B的 距离。

图的表达方式

图的表达方式有两种：邻接矩阵(使用二维数组)和邻接表(使用数组+链表)

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中各顶点之间的关系，矩阵的行和列对应各顶点，坐标位置上的值对于它们之间的关系，1为连接, 0为没有连接。在程序中用二维数组来实现。

邻接表

邻接表只关系存在的边，不需要去为不存在的边分配空间，因此比邻接矩阵来说，避免了不必要的空间浪费。在程序中用数组+链表的形式实现，数组存储对应的顶点，链表存储该顶点连接的所有顶点。

图的搜索算法

图形结构基础属性和方法

以下的代码演示都是以邻接矩阵表达方式来实现的

//图形结构(邻接矩阵)
classGraph{
//存储图中所有顶点
privateList<String>vertexes;
//图形结构的邻接矩阵
privateint[][]matrix;
//各顶点访问情况，true为已访问，false为未访问
privateboolean[]visited;
/**
*根据传入的顶点信息生成矩阵
*@params
*/
publicGraph(Strings[]){
vertexes=newArrayList<>();
for(Stringvertex:s){
vertexes.add(vertex);
}
matrix=newint[s.length][s.length];
}
/**
*将俩个顶点连接，即生成边
*@paramindex1顶点在集合中的索引
*@paramindex2
*/
publicvoidconnect(intindex1,intindex2){
if(index1<0||index1>matrix.length||index2<0||index2>matrix.length){
thrownewRuntimeException("该顶点未存在");
}
//将新的邻接添加的邻接矩阵中
matrix[index1][index2]=1;
matrix[index2][index1]=1;
}
/**
*展示邻接矩阵
*/
publicvoidshowGraphMatrix(){
for(intarr[]:matrix){
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
/**
*获取顶点在邻接矩阵对应行row中的第一个邻接顶点下标
*@paramrow
*@return当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1
*/
publicintgetFirstNeighbor(introw){
for(inti=0;i<matrix.length;i++){
if(matrix[row][i]!=0){
returni;
}
}
return-1;
}
/**
*获取顶点在邻接矩阵对于行row中col列的下一个邻接顶点
*@paramrow
*@paramcol
*@return当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1
*/
publicintgetNeighbor(introw,intcol){
for(inti=col+1;i<matrix.length;i++){
if(matrix[row][i]!=0){
returni;
}
}
return-1;
}
}

深度优先搜索

深度优先搜索属于图算法的一种，英文缩写为DFS即Depth First Search.其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个节点只能访问一次。这样的访问策略是优先往纵向进行深入挖掘，而不是对一个顶点的所有邻接顶点进行横线访问。简单来说就是一条路走到死，不行再掉头。

思路：从当前顶点选一个与之连接而未访问过的顶点，将当前节点往该邻接顶点移动，如果邻接顶点没有未访问的，则回溯到上一个顶点位置，继续该步骤。直到所有顶点都访问过。

往邻接但未访问过的顶点移动

邻接顶点没有未访问的，进行回溯，直到遇到未访问的邻接顶点

当所有顶点都被访问过时，退出算法

下面是深度优先搜索的过程动画

代码演示

publicvoiddsf(){
visited=newboolean[vertexes.size()];
//以在集合中下标为0的顶点，进行深度搜索
dsf(visited,0);
}
/**
*深度优先搜索
*@paramvisited
*@paramrow
*/
publicvoiddsf(boolean[]visited,introw){
//输出当前顶点
System.out.print(vertexes.get(row)+"->");
//将当前顶点设为已访问
visited[row]=true;
//获取当前顶点的邻接顶点下标
intindex=getFirstNeighbor(row);
//如果当前顶点有邻接顶点则进行深度搜索
while(index!=-1){
//当邻接顶点未访问时，则递归遍历
if(visited[index]!=true){
dsf(visited,index);
}
//当邻接顶点已访问时，则寻找另一个邻接顶点
index=getNeighbor(row,index);
}
}

宽度优先搜索

宽度优先搜索算法(又称广度优先搜索)是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。

宽度优先搜索算法类似于一个分层搜索的过程，宽度优先搜索算法需要一个队列以保持访问过顶点的顺序，以便按这个顺序来访问这些顶点的邻接顶点。

思路：依次访问当前顶点的邻接顶点，并按访问顺序将这些邻接顶点存储在队列中，当当前顶点的所有邻接顶点都被访问后，从队列中弹出一个顶点，以该顶点为当前顶点继续该步骤，直到所有顶点都被访问过。

依次访问当前顶点的所有邻接顶点，并把这些邻接顶点按访问顺序存储在队列中

当前顶点没有未访问的邻接顶点，从队列中弹出一个顶点，以该弹出顶点继续访问未访问的邻接顶点

注意，虽然图中的顶点都已经访问过了，但还是要等队列中的所有顶点弹出访问后，算法才结束

下面时宽度优先搜索的过程动画

代码演示

publicvoidbfs(){
visited=newboolean[vertexes.size()];
////以在集合中下标为0的顶点，进行广度优先搜索
bfs(visited,0);
}
/**
*广度优先搜索
*@paramvisited
*@paramrow
*/
publicvoidbfs(boolean[]visited,introw){
//创建队列，存储遍历邻接顶点的顺序
LinkedListqueue=newLinkedList();
//输出当前顶点
System.out.print(vertexes.get(row)+"->");
//将当前顶点设为已访问
visited[row]=true;
//将当前顶点加入队列中
queue.add(row);
//当队列不为空时，即有未搜索的邻接顶点，进行搜索
while(!queue.isEmpty()){
//按顺序从队列中弹出邻接顶点下标
intlast=(Integer)queue.removeFirst();
//获取该弹出顶点的邻接顶点下标
intindex=getFirstNeighbor(last);
//当弹出顶点有邻接顶点时，进行广度搜索
while(index!=-1){
//当邻接顶点未访问时
if(visited[index]!=true){
//输出该邻接顶点
System.out.print(vertexes.get(index)+"->");
//把该邻接顶点设为已访问
visited[index]=true;
//将该邻接顶点加入队列
queue.addLast(index);
}
//继续寻找弹出顶点的另一个邻接顶点
index=getNeighbor(last,index);
}
}
}

完整演示代码

publicclassGraphDemo{
publicstaticvoidmain(String[]args){
String[]s={"A","B","C","D","E","F","G"};
Graphgraph=newGraph(s);
//A-BA-CA-GA-FF-DF-ED-EE-G
graph.connect(0,1);
graph.connect(0,2);
graph.connect(0,6);
graph.connect(0,5);
graph.connect(5,3);
graph.connect(5,4);
graph.connect(3,4);
graph.connect(4,6);
graph.showGraphMatrix();
graph.dsf();//A->B->C->F->D->E->G->
System.out.println();
graph.bfs();//A->B->C->F->G->D->E->
}
}
//图形结构
classGraph{
//存储图中所有顶点
privateList<String>vertexes;
//图形结构的邻接矩阵
privateint[][]matrix;
//各顶点访问情况，true为已访问，false为未访问
privateboolean[]visited;
/**
*根据传入的顶点信息生成矩阵
*@params
*/
publicGraph(Strings[]){
vertexes=newArrayList<>();
for(Stringvertex:s){
vertexes.add(vertex);
}
matrix=newint[s.length][s.length];
}
/**
*将俩个顶点连接，即生成边
*@paramindex1顶点在集合中的索引
*@paramindex2
*/
publicvoidconnect(intindex1,intindex2){
if(index1<0||index1>matrix.length||index2<0||index2>matrix.length){
thrownewRuntimeException("该顶点未存在");
}
//将新的邻接添加的邻接矩阵中
matrix[index1][index2]=1;
matrix[index2][index1]=1;
}
/**
*展示邻接矩阵
*/
publicvoidshowGraphMatrix(){
for(intarr[]:matrix){
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
publicvoiddsf(){
visited=newboolean[vertexes.size()];
//以在集合中下标为0的顶点，进行深度优先搜索
dsf(visited,0);
}
/**
*深度优先搜索
*@paramvisited
*@paramrow
*/
publicvoiddsf(boolean[]visited,introw){
//输出当前顶点
System.out.print(vertexes.get(row)+"->");
//将当前顶点设为已访问
visited[row]=true;
//获取当前顶点的邻接顶点下标
intindex=getFirstNeighbor(row);
//如果当前顶点有邻接顶点则进行深度搜索
while(index!=-1){
//当邻接顶点未访问时，则递归遍历
if(visited[index]!=true){
dsf(visited,index);
}
//当邻接顶点已访问时，则寻找另一个邻接顶点
index=getNeighbor(row,index);
}
}
publicvoidbfs(){
visited=newboolean[vertexes.size()];
////以在集合中下标为0的顶点，进行广度优先搜索
bfs(visited,0);
}
/**
*广度优先搜索
*@paramvisited
*@paramrow
*/
publicvoidbfs(boolean[]visited,introw){
//创建队列，存储遍历邻接顶点的顺序
Queuequeue=newArrayDeque();
//输出当前顶点
System.out.print(vertexes.get(row)+"->");
//将当前顶点设为已访问
visited[row]=true;
//将当前顶点加入队列中
queue.add(row);
//当队列不为空时，即有未搜索的邻接顶点，进行搜索
while(!queue.isEmpty()){
//按顺序从队列中弹出邻接顶点下标
intlast=(Integer)queue.poll();
//获取该弹出顶点的邻接顶点下标
intindex=getFirstNeighbor(last);
//当弹出顶点有邻接顶点时，进行广度搜索
while(index!=-1){
//当邻接顶点未访问时
if(visited[index]!=true){
//输出该邻接顶点
System.out.print(vertexes.get(index)+"->");
//把该邻接顶点设为已访问
visited[index]=true;
//将该邻接顶点加入队列
queue.add(index);
}
//继续寻找弹出顶点的另一个邻接顶点
index=getNeighbor(last,index);
}
}
}
/**
*获取顶点在邻接矩阵对应行row中的第一个邻接顶点下标
*@paramrow
*@return当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1
*/
publicintgetFirstNeighbor(introw){
for(inti=0;i<matrix.length;i++){
if(matrix[row][i]!=0){
returni;
}
}
return-1;
}
/**
*获取顶点在邻接矩阵对于行row中col列的下一个邻接顶点
*@paramrow
*@paramcol
*@return当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1
*/
publicintgetNeighbor(introw,intcol){
for(inti=col+1;i<matrix.length;i++){
if(matrix[row][i]!=0){
returni;
}
}
return-1;
}
}